Производная cot(x^2-2)

Вы ввели

   / 2    \
cot\x  - 2/

$$\cot{\left(x^{2} - 2 \right)}$$

d /   / 2    \\
--\cot\x  - 2//
dx             

$$\frac{d}{d x} \cot{\left(x^{2} - 2 \right)}$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

   Method #1

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\cot{\left(x^{2} - 2 \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x^{2} - 2 \right)}}$

   2. Заменим $u = \tan{\left(x^{2} - 2 \right)}$.

   3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x^{2} - 2 \right)}$:

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\tan{\left(x^{2} - 2 \right)} = \frac{\sin{\left(x^{2} - 2 \right)}}{\cos{\left(x^{2} - 2 \right)}}$

      2. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x^{2} - 2 \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x^{2} - 2 \right)}$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = x^{2} - 2$.

         2. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 2\right)$:

            1. дифференцируем $x^{2} - 2$ почленно:

               1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

               2. Производная постоянной $\left(-1\right) 2$ равна нулю.

               В результате: $2 x$

            В результате последовательности правил:

            $2 x \cos{\left(x^{2} - 2 \right)}$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = x^{2} - 2$.

         2. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 2\right)$:

            1. дифференцируем $x^{2} - 2$ почленно:

               1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

               2. Производная постоянной $\left(-1\right) 2$ равна нулю.

               В результате: $2 x$

            В результате последовательности правил:

            $- 2 x \sin{\left(x^{2} - 2 \right)}$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{2 x \sin^{2}{\left(x^{2} - 2 \right)} + 2 x \cos^{2}{\left(x^{2} - 2 \right)}}{\cos^{2}{\left(x^{2} - 2 \right)}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{2 x \sin^{2}{\left(x^{2} - 2 \right)} + 2 x \cos^{2}{\left(x^{2} - 2 \right)}}{\cos^{2}{\left(x^{2} - 2 \right)} \tan^{2}{\left(x^{2} - 2 \right)}}$

   Method #2

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\cot{\left(x^{2} - 2 \right)} = \frac{\cos{\left(x^{2} - 2 \right)}}{\sin{\left(x^{2} - 2 \right)}}$

   2. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x^{2} - 2 \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x^{2} - 2 \right)}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = x^{2} - 2$.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 2\right)$:

         1. дифференцируем $x^{2} - 2$ почленно:

            1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

            2. Производная постоянной $\left(-1\right) 2$ равна нулю.

            В результате: $2 x$

         В результате последовательности правил:

         $- 2 x \sin{\left(x^{2} - 2 \right)}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = x^{2} - 2$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 2\right)$:

         1. дифференцируем $x^{2} - 2$ почленно:

            1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

            2. Производная постоянной $\left(-1\right) 2$ равна нулю.

            В результате: $2 x$

         В результате последовательности правил:

         $2 x \cos{\left(x^{2} - 2 \right)}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{- 2 x \sin^{2}{\left(x^{2} - 2 \right)} - 2 x \cos^{2}{\left(x^{2} - 2 \right)}}{\sin^{2}{\left(x^{2} - 2 \right)}}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{2 x}{\sin^{2}{\left(x^{2} - 2 \right)}}$

---

Ответ:

$- \frac{2 x}{\sin^{2}{\left(x^{2} - 2 \right)}}$

Первая производная

    /        2/ 2    \\
2*x*\-1 - cot \x  - 2//

$$2 x \left(- \cot^{2}{\left(x^{2} - 2 \right)} - 1\right)$$

Вторая производная

  /        2/      2\      2 /       2/      2\\    /      2\\
2*\-1 - cot \-2 + x / + 4*x *\1 + cot \-2 + x //*cot\-2 + x //

$$2 \cdot \left(4 x^{2} \left(\cot^{2}{\left(x^{2} - 2 \right)} + 1\right) \cot{\left(x^{2} - 2 \right)} - \cot^{2}{\left(x^{2} - 2 \right)} - 1\right)$$

Третья производная

    /       2/      2\\ /     /      2\      2    2/      2\      2 /       2/      2\\\
8*x*\1 + cot \-2 + x //*\3*cot\-2 + x / - 4*x *cot \-2 + x / - 2*x *\1 + cot \-2 + x ///

$$8 x \left(\cot^{2}{\left(x^{2} - 2 \right)} + 1\right) \left(- 2 x^{2} \left(\cot^{2}{\left(x^{2} - 2 \right)} + 1\right) - 4 x^{2} \cot^{2}{\left(x^{2} - 2 \right)} + 3 \cot{\left(x^{2} - 2 \right)}\right)$$

График