Производная (cot(x))^7

Вы ввели

   7   
cot (x)

$$\cot^{7}{\left(x \right)}$$

d /   7   \
--\cot (x)/
dx         

$$\frac{d}{d x} \cot^{7}{\left(x \right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cot{\left(x \right)}$.

2. В силу правила, применим: $u^{7}$ получим $7 u^{6}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left(x \right)}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Method #1

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$

      2. Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$.

      3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

      4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$:

         1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

            $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

         2. Применим правило производной частного:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Производная синуса есть косинус:

               $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Производная косинус есть минус синус:

               $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

            Теперь применим правило производной деления:

            $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$

      Method #2

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

      2. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{7 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cot^{6}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{7 \cos^{6}{\left(x \right)}}{\sin^{8}{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$- \frac{7 \cos^{6}{\left(x \right)}}{\sin^{8}{\left(x \right)}}$

Первая производная

   6    /          2   \
cot (x)*\-7 - 7*cot (x)/

$$\left(- 7 \cot^{2}{\left(x \right)} - 7\right) \cot^{6}{\left(x \right)}$$

Вторая производная

      5    /       2   \ /         2   \
14*cot (x)*\1 + cot (x)/*\3 + 4*cot (x)/

$$14 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(4 \cot^{2}{\left(x \right)} + 3\right) \cot^{5}{\left(x \right)}$$

Третья производная

                          /                            2                           \
       4    /       2   \ |     4         /       2   \          2    /       2   \|
-14*cot (x)*\1 + cot (x)/*\2*cot (x) + 15*\1 + cot (x)/  + 19*cot (x)*\1 + cot (x)//

$$- 14 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(15 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + 19 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot^{2}{\left (x \right )} + 2 \cot^{4}{\left (x \right )}\right) \cot^{4}{\left (x \right )}$$

График