Производная (cot(x)^3)*x

Вы ввели

   3     
cot (x)*x

$$x \cot^{3}{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = \cot^{3}{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \cot{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )}$:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{3 \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \cot^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}$

   $g{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   В результате: $- \frac{3 x \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \cot^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} + \cot^{3}{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{3 x \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{4}{\left (x \right )}} + \frac{1}{\tan^{3}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{3 x \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{4}{\left (x \right )}} + \frac{1}{\tan^{3}{\left (x \right )}}$

Первая производная

   3           2    /          2   \
cot (x) + x*cot (x)*\-3 - 3*cot (x)/

$$x \left(- 3 \cot^{2}{\left (x \right )} - 3\right) \cot^{2}{\left (x \right )} + \cot^{3}{\left (x \right )}$$

Вторая производная

  /       2   \ /               2        /       2   \\       
6*\1 + cot (x)/*\-cot(x) + x*cot (x) + x*\1 + cot (x)//*cot(x)

$$6 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(x \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + x \cot^{2}{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )}\right) \cot{\left (x \right )}$$

Третья производная

                /                           2                                                                   \
  /       2   \ |     3        /       2   \           4        /       2   \                 2    /       2   \|
6*\1 + cot (x)/*\3*cot (x) - x*\1 + cot (x)/  - 2*x*cot (x) + 3*\1 + cot (x)/*cot(x) - 7*x*cot (x)*\1 + cot (x)//

$$6 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(- x \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} - 7 x \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot^{2}{\left (x \right )} - 2 x \cot^{4}{\left (x \right )} + 3 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} + 3 \cot^{3}{\left (x \right )}\right)$$