Производная cbrt(cot(x))

Вы ввели

3 ________
\/ cot(x) 

$$\sqrt[3]{\cot{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cot{\left (x \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\sqrt[3]{u}$ получим $\frac{1}{3 u^{\frac{2}{3}}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{3 \cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )} \cot^{\frac{2}{3}}{\left (x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{3 \left(\frac{1}{\tan{\left (x \right )}}\right)^{\frac{2}{3}} \sin^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{3 \left(\frac{1}{\tan{\left (x \right )}}\right)^{\frac{2}{3}} \sin^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

         2   
  1   cot (x)
- - - -------
  3      3   
-------------
     2/3     
  cot   (x)  

$$\frac{- \frac{1}{3} \cot^{2}{\left (x \right )} - \frac{1}{3}}{\cot^{\frac{2}{3}}{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

                /                      2   \
  /       2   \ |  3 ________   1 + cot (x)|
2*\1 + cot (x)/*|3*\/ cot(x)  - -----------|
                |                   5/3    |
                \                cot   (x) /
--------------------------------------------
                     9                      

$$\frac{2}{9} \left(- \frac{\cot^{2}{\left (x \right )} + 1}{\cot^{\frac{5}{3}}{\left (x \right )}} + 3 \sqrt[3]{\cot{\left (x \right )}}\right) \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)$$

Третья производная

                /                                2                  \
                |                   /       2   \      /       2   \|
  /       2   \ |        4/3      5*\1 + cot (x)/    9*\1 + cot (x)/|
2*\1 + cot (x)/*|- 18*cot   (x) - ---------------- + ---------------|
                |                       8/3                2/3      |
                \                    cot   (x)          cot   (x)   /
---------------------------------------------------------------------
                                  27                                 

$$\frac{2}{27} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(- \frac{5 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\cot^{\frac{8}{3}}{\left (x \right )}} + \frac{9 \cot^{2}{\left (x \right )} + 9}{\cot^{\frac{2}{3}}{\left (x \right )}} - 18 \cot^{\frac{4}{3}}{\left (x \right )}\right)$$