Производная sqrt(cos(x)+1)

Вы ввели

  ____________
\/ cos(x) + 1 

$$\sqrt{\cos{\left(x \right)} + 1}$$

d /  ____________\
--\\/ cos(x) + 1 /
dx                

$$\frac{d}{d x} \sqrt{\cos{\left(x \right)} + 1}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cos{\left(x \right)} + 1$.

2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)$:

   1. дифференцируем $\cos{\left(x \right)} + 1$ почленно:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      В результате: $- \sin{\left(x \right)}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\cos{\left(x \right)} + 1}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\cos{\left(x \right)} + 1}}$

---

Ответ:

$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\cos{\left(x \right)} + 1}}$

Первая производная

    -sin(x)     
----------------
    ____________
2*\/ cos(x) + 1 

$$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\cos{\left(x \right)} + 1}}$$

Вторая производная

 /               2     \ 
 |            sin (x)  | 
-|2*cos(x) + ----------| 
 \           1 + cos(x)/ 
-------------------------
         ____________    
     4*\/ 1 + cos(x)     

$$- \frac{2 \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}}{4 \sqrt{\cos{\left(x \right)} + 1}}$$

Третья производная

/                        2     \       
|     6*cos(x)      3*sin (x)  |       
|4 - ---------- - -------------|*sin(x)
|    1 + cos(x)               2|       
\                 (1 + cos(x)) /       
---------------------------------------
                ____________           
            8*\/ 1 + cos(x)            

$$\frac{\left(4 - \frac{6 \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1} - \frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}\right) \sin{\left(x \right)}}{8 \sqrt{\cos{\left(x \right)} + 1}}$$

График