Производная log(a*x+b)

Вы ввели

log(a*x + b)

$$\log{\left(a x + b \right)}$$

d               
--(log(a*x + b))
dx              

$$\frac{\partial}{\partial x} \log{\left(a x + b \right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = a x + b$.

2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial x} \left(a x + b\right)$:

   1. дифференцируем $a x + b$ почленно:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $a$

      2. Производная постоянной $b$ равна нулю.

      В результате: $a$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{a}{a x + b}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{a}{a x + b}$

---

Ответ:

$\frac{a}{a x + b}$

Первая производная

   a   
-------
a*x + b

$$\frac{a}{a x + b}$$

Вторая производная

     2    
   -a     
----------
         2
(b + a*x) 

$$- \frac{a^{2}}{\left(a x + b\right)^{2}}$$

Третья производная

      3   
   2*a    
----------
         3
(b + a*x) 

$$\frac{2 a^{3}}{\left(a x + b\right)^{3}}$$