Производная log(2-cos(x))

Вы ввели

log(2 - cos(x))

$$\log{\left (- \cos{\left (x \right )} + 2 \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = - \cos{\left (x \right )} + 2$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- \cos{\left (x \right )} + 2\right)$:

   1. дифференцируем $- \cos{\left (x \right )} + 2$ почленно:

      1. Производная постоянной $2$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

         Таким образом, в результате: $\sin{\left (x \right )}$

      В результате: $\sin{\left (x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\sin{\left (x \right )}}{- \cos{\left (x \right )} + 2}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} - 2}$

---

Ответ:

$- \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} - 2}$

Первая производная

  sin(x)  
----------
2 - cos(x)

$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{- \cos{\left (x \right )} + 2}$$

Вторая производная

 /     2              \ 
 |  sin (x)           | 
-|----------- + cos(x)| 
 \-2 + cos(x)         / 
------------------------
      -2 + cos(x)       

$$- \frac{1}{\cos{\left (x \right )} - 2} \left(\cos{\left (x \right )} + \frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} - 2}\right)$$

Третья производная

/                         2      \       
|      3*cos(x)      2*sin (x)   |       
|1 - ----------- - --------------|*sin(x)
|    -2 + cos(x)                2|       
\                  (-2 + cos(x)) /       
-----------------------------------------
               -2 + cos(x)               

$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} - 2} \left(1 - \frac{3 \cos{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} - 2} - \frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} - 2\right)^{2}}\right)$$