Производная log((2-x)/(2+x))

Вы ввели

   /2 - x\
log|-----|
   \2 + x/

$$\log{\left (\frac{- x + 2}{x + 2} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{- x + 2}{x + 2}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{- x + 2}{x + 2}\right)$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = - x + 2$ и $g{\left (x \right )} = x + 2$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $- x + 2$ почленно:

         1. Производная постоянной $2$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $-1$

         В результате: $-1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $x + 2$ почленно:

         1. Производная постоянной $2$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $- \frac{4}{\left(x + 2\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{4}{\left(- x + 2\right) \left(x + 2\right)}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{4}{x^{2} - 4}$

---

Ответ:

$\frac{4}{x^{2} - 4}$

Первая производная

        /    1      2 - x  \
(2 + x)*|- ----- - --------|
        |  2 + x          2|
        \          (2 + x) /
----------------------------
           2 - x            

$$\frac{1}{- x + 2} \left(x + 2\right) \left(- \frac{- x + 2}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{1}{x + 2}\right)$$

Вторая производная

/     -2 + x\ /  1        1  \
|-1 + ------|*|------ + -----|
\     2 + x / \-2 + x   2 + x/
------------------------------
            -2 + x            

$$\frac{1}{x - 2} \left(\frac{x - 2}{x + 2} - 1\right) \left(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 2}\right)$$

Третья производная

  /     -2 + x\ /      1          1              1        \
2*|-1 + ------|*|- --------- - -------- - ----------------|
  \     2 + x / |          2          2   (-2 + x)*(2 + x)|
                \  (-2 + x)    (2 + x)                    /
-----------------------------------------------------------
                           -2 + x                          

$$\frac{2}{x - 2} \left(\frac{x - 2}{x + 2} - 1\right) \left(- \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x + 2\right)} - \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}\right)$$