Производная log(cos(x-1/x))

Вы ввели

   /   /    1\\
log|cos|x - -||
   \   \    x//

$$\log{\left (\cos{\left (x - \frac{1}{x} \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cos{\left (x - \frac{1}{x} \right )}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (x - \frac{1}{x} \right )}$:

   1. Заменим $u = x - \frac{1}{x}$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x - \frac{1}{x}\right)$:

      1. дифференцируем $x - \frac{1}{x}$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

            Таким образом, в результате: $\frac{1}{x^{2}}$

         В результате: $1 + \frac{1}{x^{2}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right) \sin{\left (x - \frac{1}{x} \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right) \sin{\left (x - \frac{1}{x} \right )}}{\cos{\left (x - \frac{1}{x} \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right) \tan{\left (x - \frac{1}{x} \right )}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right) \tan{\left (x - \frac{1}{x} \right )}$

Первая производная

 /    1 \    /    1\ 
-|1 + --|*sin|x - -| 
 |     2|    \    x/ 
 \    x /            
---------------------
         /    1\     
      cos|x - -|     
         \    x/     

$$- \frac{\left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right) \sin{\left (x - \frac{1}{x} \right )}}{\cos{\left (x - \frac{1}{x} \right )}}$$

Вторая производная

                      2                            
              /    1 \     2/    1\                
              |1 + --| *sin |x - -|         /    1\
          2   |     2|      \    x/    2*sin|x - -|
  /    1 \    \    x /                      \    x/
- |1 + --|  - --------------------- + -------------
  |     2|            2/    1\         3    /    1\
  \    x /         cos |x - -|        x *cos|x - -|
                       \    x/              \    x/

$$- \frac{\left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2} \sin^{2}{\left (x - \frac{1}{x} \right )}}{\cos^{2}{\left (x - \frac{1}{x} \right )}} - \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2} + \frac{2 \sin{\left (x - \frac{1}{x} \right )}}{x^{3} \cos{\left (x - \frac{1}{x} \right )}}$$

Третья производная

  /                     3                      3                                                     \
  |  /    1 \   /    1 \     /    1\   /    1 \     3/    1\                        2/    1\ /    1 \|
  |3*|1 + --|   |1 + --| *sin|x - -|   |1 + --| *sin |x - -|         /    1\   3*sin |x - -|*|1 + --||
  |  |     2|   |     2|     \    x/   |     2|      \    x/    3*sin|x - -|         \    x/ |     2||
  |  \    x /   \    x /               \    x /                      \    x/                 \    x /|
2*|---------- - -------------------- - --------------------- - ------------- + ----------------------|
  |     3               /    1\                3/    1\         4    /    1\        3    2/    1\    |
  |    x             cos|x - -|             cos |x - -|        x *cos|x - -|       x *cos |x - -|    |
  \                     \    x/                 \    x/              \    x/              \    x/    /

$$2 \left(- \frac{\left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{3} \sin^{3}{\left (x - \frac{1}{x} \right )}}{\cos^{3}{\left (x - \frac{1}{x} \right )}} - \frac{\left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{3} \sin{\left (x - \frac{1}{x} \right )}}{\cos{\left (x - \frac{1}{x} \right )}} + \frac{3 \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right) \sin^{2}{\left (x - \frac{1}{x} \right )}}{x^{3} \cos^{2}{\left (x - \frac{1}{x} \right )}} + \frac{1}{x^{3}} \left(3 + \frac{3}{x^{2}}\right) - \frac{3 \sin{\left (x - \frac{1}{x} \right )}}{x^{4} \cos{\left (x - \frac{1}{x} \right )}}\right)$$