Производная log(cos(x+1/x))

Вы ввели

   /   /      1\\
log|cos|x + 1*-||
   \   \      x//

$$\log{\left(\cos{\left(x + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)} \right)}$$

d /   /   /      1\\\
--|log|cos|x + 1*-|||
dx\   \   \      x///

$$\frac{d}{d x} \log{\left(\cos{\left(x + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)} \right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cos{\left(x + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$.

2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left(x + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$:

   1. Заменим $u = x + 1 \cdot \frac{1}{x}$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)$:

      1. дифференцируем $x + 1 \cdot \frac{1}{x}$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         2. Применим правило производной частного:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x$.

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Теперь применим правило производной деления:

            $- \frac{1}{x^{2}}$

         В результате: $1 - \frac{1}{x^{2}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \sin{\left(x + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \sin{\left(x + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{\cos{\left(x + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{\left(1 - x^{2}\right) \tan{\left(x + \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{\left(1 - x^{2}\right) \tan{\left(x + \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$

Первая производная

 /    1 \    /      1\ 
-|1 - --|*sin|x + 1*-| 
 |     2|    \      x/ 
 \    x /              
-----------------------
         /      1\     
      cos|x + 1*-|     
         \      x/     

$$- \frac{\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \sin{\left(x + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{\cos{\left(x + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}$$

Вторая производная

 /                    2                            \
 |            /    1 \     2/    1\                |
 |            |1 - --| *sin |x + -|         /    1\|
 |        2   |     2|      \    x/    2*sin|x + -||
 |/    1 \    \    x /                      \    x/|
-||1 - --|  + --------------------- + -------------|
 ||     2|            2/    1\         3    /    1\|
 |\    x /         cos |x + -|        x *cos|x + -||
 \                     \    x/              \    x//

$$- (\frac{\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{2} \sin^{2}{\left(x + \frac{1}{x} \right)}}{\cos^{2}{\left(x + \frac{1}{x} \right)}} + \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{2} + \frac{2 \sin{\left(x + \frac{1}{x} \right)}}{x^{3} \cos{\left(x + \frac{1}{x} \right)}})$$

Третья производная

  /                       3                      3                                                     \
  |    /    1 \   /    1 \     /    1\   /    1 \     3/    1\                        2/    1\ /    1 \|
  |  3*|1 - --|   |1 - --| *sin|x + -|   |1 - --| *sin |x + -|         /    1\   3*sin |x + -|*|1 - --||
  |    |     2|   |     2|     \    x/   |     2|      \    x/    3*sin|x + -|         \    x/ |     2||
  |    \    x /   \    x /               \    x /                      \    x/                 \    x /|
2*|- ---------- - -------------------- - --------------------- + ------------- - ----------------------|
  |       3               /    1\                3/    1\         4    /    1\        3    2/    1\    |
  |      x             cos|x + -|             cos |x + -|        x *cos|x + -|       x *cos |x + -|    |
  \                       \    x/                 \    x/              \    x/              \    x/    /

$$2 \left(- \frac{\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{3} \sin^{3}{\left(x + \frac{1}{x} \right)}}{\cos^{3}{\left(x + \frac{1}{x} \right)}} - \frac{\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{3} \sin{\left(x + \frac{1}{x} \right)}}{\cos{\left(x + \frac{1}{x} \right)}} - \frac{3 \cdot \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \sin^{2}{\left(x + \frac{1}{x} \right)}}{x^{3} \cos^{2}{\left(x + \frac{1}{x} \right)}} - \frac{3 \cdot \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)}{x^{3}} + \frac{3 \sin{\left(x + \frac{1}{x} \right)}}{x^{4} \cos{\left(x + \frac{1}{x} \right)}}\right)$$

График