Производная log(cot(5*x))

Вы ввели

log(cot(5*x))

$$\log{\left (\cot{\left (5 x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cot{\left (5 x \right )}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left (5 x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = 5 x$.

      2. $\frac{d}{d u} \cot{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(5 x\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $5$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{5}{\sin^{2}{\left (5 x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{5 \sin^{2}{\left (5 x \right )} + 5 \cos^{2}{\left (5 x \right )}}{\cos^{2}{\left (5 x \right )} \tan^{2}{\left (5 x \right )} \cot{\left (5 x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{10}{\sin{\left (10 x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{10}{\sin{\left (10 x \right )}}$

Первая производная

          2     
-5 - 5*cot (5*x)
----------------
    cot(5*x)    

$$\frac{- 5 \cot^{2}{\left (5 x \right )} - 5}{\cot{\left (5 x \right )}}$$

Вторая производная

   /                                 2\
   |                  /       2     \ |
   |         2        \1 + cot (5*x)/ |
25*|2 + 2*cot (5*x) - ----------------|
   |                        2         |
   \                     cot (5*x)    /

$$25 \left(- \frac{\left(\cot^{2}{\left (5 x \right )} + 1\right)^{2}}{\cot^{2}{\left (5 x \right )}} + 2 \cot^{2}{\left (5 x \right )} + 2\right)$$

Третья производная

                    /                             2                    \
                    |              /       2     \      /       2     \|
    /       2     \ |              \1 + cot (5*x)/    2*\1 + cot (5*x)/|
250*\1 + cot (5*x)/*|-2*cot(5*x) - ---------------- + -----------------|
                    |                    3                 cot(5*x)    |
                    \                 cot (5*x)                        /

$$250 \left(\cot^{2}{\left (5 x \right )} + 1\right) \left(- \frac{\left(\cot^{2}{\left (5 x \right )} + 1\right)^{2}}{\cot^{3}{\left (5 x \right )}} + \frac{2 \cot^{2}{\left (5 x \right )} + 2}{\cot{\left (5 x \right )}} - 2 \cot{\left (5 x \right )}\right)$$