Производная log(log(cot(2*x)))

Вы ввели

log(log(cot(2*x)))

$$\log{\left (\log{\left (\cot{\left (2 x \right )} \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \log{\left (\cot{\left (2 x \right )} \right )}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (\cot{\left (2 x \right )} \right )}$:

   1. Заменим $u = \cot{\left (2 x \right )}$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left (2 x \right )}$:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. Заменим $u = 2 x$.

         2. $\frac{d}{d u} \cot{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (u \right )}}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(2 x\right)$:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $2$

            В результате последовательности правил:

            $- \frac{2}{\sin^{2}{\left (2 x \right )}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{2 \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 2 \cos^{2}{\left (2 x \right )}}{\cos^{2}{\left (2 x \right )} \tan^{2}{\left (2 x \right )} \cot{\left (2 x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{2 \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 2 \cos^{2}{\left (2 x \right )}}{\log{\left (\cot{\left (2 x \right )} \right )} \cos^{2}{\left (2 x \right )} \tan^{2}{\left (2 x \right )} \cot{\left (2 x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{4}{\log{\left (\frac{1}{\tan{\left (2 x \right )}} \right )} \sin{\left (4 x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{4}{\log{\left (\frac{1}{\tan{\left (2 x \right )}} \right )} \sin{\left (4 x \right )}}$

Первая производная

             2        
   -2 - 2*cot (2*x)   
----------------------
cot(2*x)*log(cot(2*x))

$$\frac{- 2 \cot^{2}{\left (2 x \right )} - 2}{\log{\left (\cot{\left (2 x \right )} \right )} \cot{\left (2 x \right )}}$$

Вторая производная

                  /           2                    2          \
  /       2     \ |    1 + cot (2*x)        1 + cot (2*x)     |
4*\1 + cot (2*x)/*|2 - ------------- - -----------------------|
                  |         2             2                   |
                  \      cot (2*x)     cot (2*x)*log(cot(2*x))/
---------------------------------------------------------------
                         log(cot(2*x))                         

$$\frac{4}{\log{\left (\cot{\left (2 x \right )} \right )}} \left(\cot^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right) \left(- \frac{\cot^{2}{\left (2 x \right )} + 1}{\cot^{2}{\left (2 x \right )}} - \frac{\cot^{2}{\left (2 x \right )} + 1}{\log{\left (\cot{\left (2 x \right )} \right )} \cot^{2}{\left (2 x \right )}} + 2\right)$$

Третья производная

                  /                               2                                           2                         2                            \
                  |                /       2     \      /       2     \        /       2     \           /       2     \           /       2     \   |
  /       2     \ |              2*\1 + cot (2*x)/    4*\1 + cot (2*x)/      3*\1 + cot (2*x)/         2*\1 + cot (2*x)/         6*\1 + cot (2*x)/   |
8*\1 + cot (2*x)/*|-4*cot(2*x) - ------------------ + ----------------- - ----------------------- - ------------------------ + ----------------------|
                  |                     3                  cot(2*x)          3                         3         2             cot(2*x)*log(cot(2*x))|
                  \                  cot (2*x)                            cot (2*x)*log(cot(2*x))   cot (2*x)*log (cot(2*x))                         /
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                    log(cot(2*x))                                                                     

$$\frac{8}{\log{\left (\cot{\left (2 x \right )} \right )}} \left(\cot^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right) \left(- \frac{2 \left(\cot^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right)^{2}}{\cot^{3}{\left (2 x \right )}} - \frac{3 \left(\cot^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right)^{2}}{\log{\left (\cot{\left (2 x \right )} \right )} \cot^{3}{\left (2 x \right )}} - \frac{2 \left(\cot^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right)^{2}}{\log^{2}{\left (\cot{\left (2 x \right )} \right )} \cot^{3}{\left (2 x \right )}} + \frac{4 \cot^{2}{\left (2 x \right )} + 4}{\cot{\left (2 x \right )}} + \frac{6 \cot^{2}{\left (2 x \right )} + 6}{\log{\left (\cot{\left (2 x \right )} \right )} \cot{\left (2 x \right )}} - 4 \cot{\left (2 x \right )}\right)$$