Производная log(log(log(x)))

Вы ввели

log(log(log(x)))

$$\log{\left (\log{\left (\log{\left (x \right )} \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \log{\left (\log{\left (x \right )} \right )}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (\log{\left (x \right )} \right )}$:

   1. Заменим $u = \log{\left (x \right )}$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (x \right )}$:

      1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{x \log{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{1}{x \log{\left (x \right )} \log{\left (\log{\left (x \right )} \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{x \log{\left (x \right )} \log{\left (\log{\left (x \right )} \right )}}$

Первая производная

         1          
--------------------
x*log(x)*log(log(x))

$$\frac{1}{x \log{\left (x \right )} \log{\left (\log{\left (x \right )} \right )}}$$

Вторая производная

 /      1              1         \ 
-|1 + ------ + ------------------| 
 \    log(x)   log(x)*log(log(x))/ 
-----------------------------------
        2                          
       x *log(x)*log(log(x))       

$$- \frac{1 + \frac{1}{\log{\left (x \right )}} + \frac{1}{\log{\left (x \right )} \log{\left (\log{\left (x \right )} \right )}}}{x^{2} \log{\left (x \right )} \log{\left (\log{\left (x \right )} \right )}}$$

Третья производная

       2        3               2                     3                     3         
2 + ------- + ------ + -------------------- + ------------------ + -------------------
       2      log(x)      2       2           log(x)*log(log(x))      2               
    log (x)            log (x)*log (log(x))                        log (x)*log(log(x))
--------------------------------------------------------------------------------------
                                 3                                                    
                                x *log(x)*log(log(x))                                 

$$\frac{1}{x^{3} \log{\left (x \right )} \log{\left (\log{\left (x \right )} \right )}} \left(2 + \frac{3}{\log{\left (x \right )}} + \frac{3}{\log{\left (x \right )} \log{\left (\log{\left (x \right )} \right )}} + \frac{2}{\log^{2}{\left (x \right )}} + \frac{3}{\log^{2}{\left (x \right )} \log{\left (\log{\left (x \right )} \right )}} + \frac{2}{\log^{2}{\left (x \right )} \log^{2}{\left (\log{\left (x \right )} \right )}}\right)$$