Производная log(log(log(x^2)))

Вы ввели

   /   /   / 2\\\
log\log\log\x ///

$$\log{\left (\log{\left (\log{\left (x^{2} \right )} \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \log{\left (\log{\left (x^{2} \right )} \right )}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (\log{\left (x^{2} \right )} \right )}$:

   1. Заменим $u = \log{\left (x^{2} \right )}$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (x^{2} \right )}$:

      1. Заменим $u = x^{2}$.

      2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} x^{2}$:

         1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{2}{x}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{2}{x \log{\left (x^{2} \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{2}{x \log{\left (x^{2} \right )} \log{\left (\log{\left (x^{2} \right )} \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{2}{x \log{\left (x^{2} \right )} \log{\left (\log{\left (x^{2} \right )} \right )}}$

Первая производная

          2           
----------------------
     / 2\    /   / 2\\
x*log\x /*log\log\x //

$$\frac{2}{x \log{\left (x^{2} \right )} \log{\left (\log{\left (x^{2} \right )} \right )}}$$

Вторая производная

   /       2               2          \
-2*|1 + ------- + --------------------|
   |       / 2\      / 2\    /   / 2\\|
   \    log\x /   log\x /*log\log\x ///
---------------------------------------
         2    / 2\    /   / 2\\        
        x *log\x /*log\log\x //        

$$- \frac{2 + \frac{4}{\log{\left (x^{2} \right )}} + \frac{4}{\log{\left (x^{2} \right )} \log{\left (\log{\left (x^{2} \right )} \right )}}}{x^{2} \log{\left (x^{2} \right )} \log{\left (\log{\left (x^{2} \right )} \right )}}$$

Третья производная

  /       3         4                3                       4                        6          \
4*|1 + ------- + -------- + -------------------- + ---------------------- + ---------------------|
  |       / 2\      2/ 2\      / 2\    /   / 2\\      2/ 2\    2/   / 2\\      2/ 2\    /   / 2\\|
  \    log\x /   log \x /   log\x /*log\log\x //   log \x /*log \log\x //   log \x /*log\log\x ///
--------------------------------------------------------------------------------------------------
                                      3    / 2\    /   / 2\\                                      
                                     x *log\x /*log\log\x //                                      

$$\frac{1}{x^{3} \log{\left (x^{2} \right )} \log{\left (\log{\left (x^{2} \right )} \right )}} \left(4 + \frac{12}{\log{\left (x^{2} \right )}} + \frac{12}{\log{\left (x^{2} \right )} \log{\left (\log{\left (x^{2} \right )} \right )}} + \frac{16}{\log^{2}{\left (x^{2} \right )}} + \frac{24}{\log^{2}{\left (x^{2} \right )} \log{\left (\log{\left (x^{2} \right )} \right )}} + \frac{16}{\log^{2}{\left (x^{2} \right )} \log^{2}{\left (\log{\left (x^{2} \right )} \right )}}\right)$$