Найти производную y' = f'(x) = log(log(1+1/x)) (логарифм от (логарифм от (1 плюс 1 делить на х))) - функции. Найдём значение производной функции в точке. [Есть ответ!]

Производная log(log(1+1/x))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
   /   /    1\\
log|log|1 + -||
   \   \    x//
$$\log{\left (\log{\left (1 + \frac{1}{x} \right )} \right )}$$
Подробное решение
  1. Заменим .

  2. Производная является .

  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

    1. Заменим .

    2. Производная является .

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

      1. дифференцируем почленно:

        1. Производная постоянной равна нулю.

        2. В силу правила, применим: получим

        В результате:

      В результате последовательности правил:

    В результате последовательности правил:

  4. Теперь упростим:


Ответ:

График
Первая производная [src]
         -1          
---------------------
 2 /    1\    /    1\
x *|1 + -|*log|1 + -|
   \    x/    \    x/
$$- \frac{1}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x}\right) \log{\left (1 + \frac{1}{x} \right )}}$$
Вторая производная [src]
        1                1          
2 - --------- - --------------------
      /    1\     /    1\    /    1\
    x*|1 + -|   x*|1 + -|*log|1 + -|
      \    x/     \    x/    \    x/
------------------------------------
        3 /    1\    /    1\        
       x *|1 + -|*log|1 + -|        
          \    x/    \    x/        
$$\frac{2 - \frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x}\right)} - \frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x}\right) \log{\left (1 + \frac{1}{x} \right )}}}{x^{3} \left(1 + \frac{1}{x}\right) \log{\left (1 + \frac{1}{x} \right )}}$$
Третья производная [src]
          2            6                 3                         2                       6          
-6 - ----------- + --------- - ---------------------- - ----------------------- + --------------------
               2     /    1\             2                        2                 /    1\    /    1\
      2 /    1\    x*|1 + -|    2 /    1\     /    1\    2 /    1\     2/    1\   x*|1 + -|*log|1 + -|
     x *|1 + -|      \    x/   x *|1 + -| *log|1 + -|   x *|1 + -| *log |1 + -|     \    x/    \    x/
        \    x/                   \    x/     \    x/      \    x/      \    x/                       
------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                         4 /    1\    /    1\                                         
                                        x *|1 + -|*log|1 + -|                                         
                                           \    x/    \    x/                                         
$$\frac{1}{x^{4} \left(1 + \frac{1}{x}\right) \log{\left (1 + \frac{1}{x} \right )}} \left(-6 + \frac{6}{x \left(1 + \frac{1}{x}\right)} + \frac{6}{x \left(1 + \frac{1}{x}\right) \log{\left (1 + \frac{1}{x} \right )}} - \frac{2}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2}} - \frac{3}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2} \log{\left (1 + \frac{1}{x} \right )}} - \frac{2}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2} \log^{2}{\left (1 + \frac{1}{x} \right )}}\right)$$