Производная ((log(-x))^2)/x

Вы ввели

   2    
log (-x)
--------
   x    

$$\frac{1}{x} \log^{2}{\left (- x \right )}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \log^{2}{\left (- x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \log{\left (- x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (- x \right )}$:

      1. Заменим $u = - x$.

      2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- x\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $-1$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{1}{x}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{2}{x} \log{\left (- x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(- \log^{2}{\left (- x \right )} + 2 \log{\left (- x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(- \log{\left (- x \right )} + 2\right) \log{\left (- x \right )}$

---

Ответ:

$\frac{1}{x^{2}} \left(- \log{\left (- x \right )} + 2\right) \log{\left (- x \right )}$

Первая производная

     2                
  log (-x)   2*log(-x)
- -------- + ---------
      2           2   
     x           x    

$$- \frac{1}{x^{2}} \log^{2}{\left (- x \right )} + \frac{2}{x^{2}} \log{\left (- x \right )}$$

Вторая производная

  /       2                \
2*\1 + log (-x) - 3*log(-x)/
----------------------------
              3             
             x              

$$\frac{1}{x^{3}} \left(2 \log^{2}{\left (- x \right )} - 6 \log{\left (- x \right )} + 2\right)$$

Третья производная

  /          2                 \
2*\-6 - 3*log (-x) + 11*log(-x)/
--------------------------------
                4               
               x                

$$\frac{1}{x^{4}} \left(- 6 \log^{2}{\left (- x \right )} + 22 \log{\left (- x \right )} - 12\right)$$