Производная log(1-e^(-x))

Вы ввели

   /     -x\
log\1 - E  /

$$\log{\left (1 - e^{- x} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = 1 - e^{- x}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(1 - e^{- x}\right)$:

   1. дифференцируем $1 - e^{- x}$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Заменим $u = - x$.

         2. Производная $e^{u}$ само оно.

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- x\right)$:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $-1$

            В результате последовательности правил:

            $- e^{- x}$

         Таким образом, в результате: $e^{- x}$

      В результате: $e^{- x}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{e^{- x}}{1 - e^{- x}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{1}{e^{x} - 1}$

---

Ответ:

$\frac{1}{e^{x} - 1}$

Первая производная

   -x  
  e    
-------
     -x
1 - E  

$$\frac{e^{- x}}{1 - e^{- x}}$$

Вторая производная

 /       -x  \     
 |      e    |  -x 
-|1 + -------|*e   
 |         -x|     
 \    1 - e  /     
-------------------
           -x      
      1 - e        

$$- \frac{e^{- x}}{1 - e^{- x}} \left(1 + \frac{e^{- x}}{1 - e^{- x}}\right)$$

Третья производная

/        -2*x         -x \    
|     2*e          3*e   |  -x
|1 + ---------- + -------|*e  
|             2        -x|    
|    /     -x\    1 - e  |    
\    \1 - e  /           /    
------------------------------
                -x            
           1 - e              

$$\frac{e^{- x}}{1 - e^{- x}} \left(1 + \frac{3 e^{- x}}{1 - e^{- x}} + \frac{2 e^{- 2 x}}{\left(1 - e^{- x}\right)^{2}}\right)$$