Производная log(1-cos(5*x))

Вы ввели

log(1 - cos(5*x))

$$\log{\left (- \cos{\left (5 x \right )} + 1 \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = - \cos{\left (5 x \right )} + 1$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- \cos{\left (5 x \right )} + 1\right)$:

   1. дифференцируем $- \cos{\left (5 x \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Заменим $u = 5 x$.

         2. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(5 x\right)$:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $5$

            В результате последовательности правил:

            $- 5 \sin{\left (5 x \right )}$

         Таким образом, в результате: $5 \sin{\left (5 x \right )}$

      В результате: $5 \sin{\left (5 x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{5 \sin{\left (5 x \right )}}{- \cos{\left (5 x \right )} + 1}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{5 \sin{\left (5 x \right )}}{\cos{\left (5 x \right )} - 1}$

---

Ответ:

$- \frac{5 \sin{\left (5 x \right )}}{\cos{\left (5 x \right )} - 1}$

Первая производная

 5*sin(5*x) 
------------
1 - cos(5*x)

$$\frac{5 \sin{\left (5 x \right )}}{- \cos{\left (5 x \right )} + 1}$$

Вторая производная

    /     2                  \
    |  sin (5*x)             |
-25*|------------- + cos(5*x)|
    \-1 + cos(5*x)           /
------------------------------
        -1 + cos(5*x)         

$$- \frac{1}{\cos{\left (5 x \right )} - 1} \left(25 \cos{\left (5 x \right )} + \frac{25 \sin^{2}{\left (5 x \right )}}{\cos{\left (5 x \right )} - 1}\right)$$

Третья производная

    /                           2        \         
    |      3*cos(5*x)      2*sin (5*x)   |         
125*|1 - ------------- - ----------------|*sin(5*x)
    |    -1 + cos(5*x)                  2|         
    \                    (-1 + cos(5*x)) /         
---------------------------------------------------
                   -1 + cos(5*x)                   

$$\frac{125 \sin{\left (5 x \right )}}{\cos{\left (5 x \right )} - 1} \left(1 - \frac{3 \cos{\left (5 x \right )}}{\cos{\left (5 x \right )} - 1} - \frac{2 \sin^{2}{\left (5 x \right )}}{\left(\cos{\left (5 x \right )} - 1\right)^{2}}\right)$$