Производная log(1-1/x)

Вы ввели

   /    1\
log|1 - -|
   \    x/

$$\log{\left (1 - \frac{1}{x} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = 1 - \frac{1}{x}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(1 - \frac{1}{x}\right)$:

   1. дифференцируем $1 - \frac{1}{x}$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

         Таким образом, в результате: $\frac{1}{x^{2}}$

      В результате: $\frac{1}{x^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{1}{x^{2} \left(1 - \frac{1}{x}\right)}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x \left(x - 1\right)}$

---

Ответ:

$\frac{1}{x \left(x - 1\right)}$

Первая производная

    1     
----------
 2 /    1\
x *|1 - -|
   \    x/

$$\frac{1}{x^{2} \left(1 - \frac{1}{x}\right)}$$

Вторая производная

 /        1    \ 
-|2 + ---------| 
 |      /    1\| 
 |    x*|1 - -|| 
 \      \    x// 
-----------------
     3 /    1\   
    x *|1 - -|   
       \    x/   

$$- \frac{2 + \frac{1}{x \left(1 - \frac{1}{x}\right)}}{x^{3} \left(1 - \frac{1}{x}\right)}$$

Третья производная

  /         1            3    \
2*|3 + ----------- + ---------|
  |              2     /    1\|
  |     2 /    1\    x*|1 - -||
  |    x *|1 - -|      \    x/|
  \       \    x/             /
-------------------------------
            4 /    1\          
           x *|1 - -|          
              \    x/          

$$\frac{1}{x^{4} \left(1 - \frac{1}{x}\right)} \left(6 + \frac{6}{x \left(1 - \frac{1}{x}\right)} + \frac{2}{x^{2} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{2}}\right)$$