Производная log(1-sin(3*x))

Вы ввели

log(1 - sin(3*x))

$$\log{\left (- \sin{\left (3 x \right )} + 1 \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = - \sin{\left (3 x \right )} + 1$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- \sin{\left (3 x \right )} + 1\right)$:

   1. дифференцируем $- \sin{\left (3 x \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Заменим $u = 3 x$.

         2. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(3 x\right)$:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $3$

            В результате последовательности правил:

            $3 \cos{\left (3 x \right )}$

         Таким образом, в результате: $- 3 \cos{\left (3 x \right )}$

      В результате: $- 3 \cos{\left (3 x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{3 \cos{\left (3 x \right )}}{- \sin{\left (3 x \right )} + 1}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{3 \cos{\left (3 x \right )}}{\sin{\left (3 x \right )} - 1}$

---

Ответ:

$\frac{3 \cos{\left (3 x \right )}}{\sin{\left (3 x \right )} - 1}$

Первая производная

-3*cos(3*x) 
------------
1 - sin(3*x)

$$- \frac{3 \cos{\left (3 x \right )}}{- \sin{\left (3 x \right )} + 1}$$

Вторая производная

   /     2                  \
   |  cos (3*x)             |
-9*|------------- + sin(3*x)|
   \-1 + sin(3*x)           /
-----------------------------
        -1 + sin(3*x)        

$$- \frac{1}{\sin{\left (3 x \right )} - 1} \left(9 \sin{\left (3 x \right )} + \frac{9 \cos^{2}{\left (3 x \right )}}{\sin{\left (3 x \right )} - 1}\right)$$

Третья производная

   /            2                        \         
   |       2*cos (3*x)        3*sin(3*x) |         
27*|-1 + ---------------- + -------------|*cos(3*x)
   |                    2   -1 + sin(3*x)|         
   \     (-1 + sin(3*x))                 /         
---------------------------------------------------
                   -1 + sin(3*x)                   

$$\frac{27 \cos{\left (3 x \right )}}{\sin{\left (3 x \right )} - 1} \left(-1 + \frac{3 \sin{\left (3 x \right )}}{\sin{\left (3 x \right )} - 1} + \frac{2 \cos^{2}{\left (3 x \right )}}{\left(\sin{\left (3 x \right )} - 1\right)^{2}}\right)$$