Производная log(1-sin(x))

Вы ввели

log(1 - sin(x))

$$\log{\left (- \sin{\left (x \right )} + 1 \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = - \sin{\left (x \right )} + 1$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- \sin{\left (x \right )} + 1\right)$:

   1. дифференцируем $- \sin{\left (x \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

         Таким образом, в результате: $- \cos{\left (x \right )}$

      В результате: $- \cos{\left (x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\cos{\left (x \right )}}{- \sin{\left (x \right )} + 1}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} - 1}$

---

Ответ:

$\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} - 1}$

Первая производная

 -cos(x)  
----------
1 - sin(x)

$$- \frac{\cos{\left (x \right )}}{- \sin{\left (x \right )} + 1}$$

Вторая производная

 /     2              \ 
 |  cos (x)           | 
-|----------- + sin(x)| 
 \-1 + sin(x)         / 
------------------------
      -1 + sin(x)       

$$- \frac{1}{\sin{\left (x \right )} - 1} \left(\sin{\left (x \right )} + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} - 1}\right)$$

Третья производная

/            2                    \       
|       2*cos (x)        3*sin(x) |       
|-1 + -------------- + -----------|*cos(x)
|                  2   -1 + sin(x)|       
\     (-1 + sin(x))               /       
------------------------------------------
               -1 + sin(x)                

$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} - 1} \left(-1 + \frac{3 \sin{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} - 1} + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\left(\sin{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}\right)$$