Производная log((1-x)/(x+1))

Вы ввели

   /1 - x\
log|-----|
   \x + 1/

$$\log{\left (\frac{- x + 1}{x + 1} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{- x + 1}{x + 1}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{- x + 1}{x + 1}\right)$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = - x + 1$ и $g{\left (x \right )} = x + 1$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $- x + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $-1$

         В результате: $-1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $- \frac{2}{\left(x + 1\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{2 x + 2}{\left(- x + 1\right) \left(x + 1\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{2}{x^{2} - 1}$

---

Ответ:

$\frac{2}{x^{2} - 1}$

Первая производная

        /    1      1 - x  \
(x + 1)*|- ----- - --------|
        |  x + 1          2|
        \          (x + 1) /
----------------------------
           1 - x            

$$\frac{1}{- x + 1} \left(x + 1\right) \left(- \frac{- x + 1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x + 1}\right)$$

Вторая производная

/     -1 + x\ /  1       1   \
|-1 + ------|*|----- + ------|
\     1 + x / \1 + x   -1 + x/
------------------------------
            -1 + x            

$$\frac{1}{x - 1} \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}\right)$$

Третья производная

  /     -1 + x\ /     1           1              1        \
2*|-1 + ------|*|- -------- - --------- - ----------------|
  \     1 + x / |         2           2   (1 + x)*(-1 + x)|
                \  (1 + x)    (-1 + x)                    /
-----------------------------------------------------------
                           -1 + x                          

$$\frac{2}{x - 1} \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) \left(- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)$$