Производная log(1+exp(x))

Вы ввели

   /     x\
log\1 + e /

$$\log{\left (e^{x} + 1 \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = e^{x} + 1$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(e^{x} + 1\right)$:

   1. дифференцируем $e^{x} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная $e^{x}$ само оно.

      В результате: $e^{x}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$

---

Ответ:

$\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$

Первая производная

   x  
  e   
------
     x
1 + e 

$$\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$$

Вторая производная

/       x  \   
|      e   |  x
|1 - ------|*e 
|         x|   
\    1 + e /   
---------------
          x    
     1 + e     

$$\frac{\left(1 - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}\right) e^{x}}{e^{x} + 1}$$

Третья производная

/        x         2*x \   
|     3*e       2*e    |  x
|1 - ------ + ---------|*e 
|         x           2|   
|    1 + e    /     x\ |   
\             \1 + e / /   
---------------------------
                x          
           1 + e           

$$\frac{e^{x}}{e^{x} + 1} \left(1 - \frac{3 e^{x}}{e^{x} + 1} + \frac{2 e^{2 x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}\right)$$