Производная log(1+e^(-x))

Вы ввели

   /     -x\
log\1 + E  /

$$\log{\left (1 + e^{- x} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = 1 + e^{- x}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(1 + e^{- x}\right)$:

   1. дифференцируем $1 + e^{- x}$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Заменим $u = - x$.

      3. Производная $e^{u}$ само оно.

      4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- x\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $-1$

         В результате последовательности правил:

         $- e^{- x}$

      В результате: $- e^{- x}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{e^{x} + 1}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{e^{x} + 1}$

Первая производная

   -x  
 -e    
-------
     -x
1 + E  

$$- \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$$

Вторая производная

/       -x  \    
|      e    |  -x
|1 - -------|*e  
|         -x|    
\    1 + e  /    
-----------------
          -x     
     1 + e       

$$\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}} \left(1 - \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}\right)$$

Третья производная

/         -2*x         -x \    
|      2*e          3*e   |  -x
|-1 - ---------- + -------|*e  
|              2        -x|    
|     /     -x\    1 + e  |    
\     \1 + e  /           /    
-------------------------------
                 -x            
            1 + e              

$$\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}} \left(-1 + \frac{3 e^{- x}}{1 + e^{- x}} - \frac{2 e^{- 2 x}}{\left(1 + e^{- x}\right)^{2}}\right)$$