Производная log(1+cos(2*x))

Вы ввели

log(1 + cos(2*x))

$$\log{\left (\cos{\left (2 x \right )} + 1 \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cos{\left (2 x \right )} + 1$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\cos{\left (2 x \right )} + 1\right)$:

   1. дифференцируем $\cos{\left (2 x \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Заменим $u = 2 x$.

      3. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

      4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(2 x\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $2$

         В результате последовательности правил:

         $- 2 \sin{\left (2 x \right )}$

      В результате: $- 2 \sin{\left (2 x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{2 \sin{\left (2 x \right )}}{\cos{\left (2 x \right )} + 1}$

4. Теперь упростим:

   $- 2 \tan{\left (x \right )}$

---

Ответ:

$- 2 \tan{\left (x \right )}$

Первая производная

-2*sin(2*x) 
------------
1 + cos(2*x)

$$- \frac{2 \sin{\left (2 x \right )}}{\cos{\left (2 x \right )} + 1}$$

Вторая производная

   /    2                  \
   | sin (2*x)             |
-4*|------------ + cos(2*x)|
   \1 + cos(2*x)           /
----------------------------
        1 + cos(2*x)        

$$- \frac{1}{\cos{\left (2 x \right )} + 1} \left(4 \cos{\left (2 x \right )} + \frac{4 \sin^{2}{\left (2 x \right )}}{\cos{\left (2 x \right )} + 1}\right)$$

Третья производная

  /                          2       \         
  |     3*cos(2*x)      2*sin (2*x)  |         
8*|1 - ------------ - ---------------|*sin(2*x)
  |    1 + cos(2*x)                 2|         
  \                   (1 + cos(2*x)) /         
-----------------------------------------------
                  1 + cos(2*x)                 

$$\frac{8 \sin{\left (2 x \right )}}{\cos{\left (2 x \right )} + 1} \left(1 - \frac{3 \cos{\left (2 x \right )}}{\cos{\left (2 x \right )} + 1} - \frac{2 \sin^{2}{\left (2 x \right )}}{\left(\cos{\left (2 x \right )} + 1\right)^{2}}\right)$$