Производная log(1+1/x)

Вы ввели

   /    1\
log|1 + -|
   \    x/

$$\log{\left (1 + \frac{1}{x} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = 1 + \frac{1}{x}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(1 + \frac{1}{x}\right)$:

   1. дифференцируем $1 + \frac{1}{x}$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

      В результате: $- \frac{1}{x^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{1}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x}\right)}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{x \left(x + 1\right)}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{x \left(x + 1\right)}$

Первая производная

   -1     
----------
 2 /    1\
x *|1 + -|
   \    x/

$$- \frac{1}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x}\right)}$$

Вторая производная

        1    
2 - ---------
      /    1\
    x*|1 + -|
      \    x/
-------------
   3 /    1\ 
  x *|1 + -| 
     \    x/ 

$$\frac{2 - \frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x}\right)}}{x^{3} \left(1 + \frac{1}{x}\right)}$$

Третья производная

  /          1            3    \
2*|-3 - ----------- + ---------|
  |               2     /    1\|
  |      2 /    1\    x*|1 + -||
  |     x *|1 + -|      \    x/|
  \        \    x/             /
--------------------------------
            4 /    1\           
           x *|1 + -|           
              \    x/           

$$\frac{1}{x^{4} \left(1 + \frac{1}{x}\right)} \left(-6 + \frac{6}{x \left(1 + \frac{1}{x}\right)} - \frac{2}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2}}\right)$$