Производная log((1+x)/(1-x))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
   /1 + x\
log|-----|
   \1 - x/
log(x+1x+1)\log{\left (\frac{x + 1}{- x + 1} \right )}
Подробное решение
  1. Заменим u=x+1x+1u = \frac{x + 1}{- x + 1}.

  2. Производная log(u)\log{\left (u \right )} является 1u\frac{1}{u}.

  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx(x+1x+1)\frac{d}{d x}\left(\frac{x + 1}{- x + 1}\right):

    1. Применим правило производной частного:

      ddx(f(x)g(x))=1g2(x)(f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x))\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)

      f(x)=x+1f{\left (x \right )} = x + 1 и g(x)=x+1g{\left (x \right )} = - x + 1.

      Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}:

      1. дифференцируем x+1x + 1 почленно:

        1. Производная постоянной 11 равна нулю.

        2. В силу правила, применим: xx получим 11

        В результате: 11

      Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}:

      1. дифференцируем x+1- x + 1 почленно:

        1. Производная постоянной 11 равна нулю.

        2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

          1. В силу правила, применим: xx получим 11

          Таким образом, в результате: 1-1

        В результате: 1-1

      Теперь применим правило производной деления:

      2(x+1)2\frac{2}{\left(- x + 1\right)^{2}}

    В результате последовательности правил:

    2(x+1)(x+1)\frac{2}{\left(- x + 1\right) \left(x + 1\right)}

  4. Теперь упростим:

    2x21- \frac{2}{x^{2} - 1}


Ответ:

2x21- \frac{2}{x^{2} - 1}

График
02468-8-6-4-2-1010-2020
Первая производная [src]
        /  1      1 + x  \
(1 - x)*|----- + --------|
        |1 - x          2|
        \        (1 - x) /
--------------------------
          1 + x           
1x+1(x+1)(1x+1+x+1(x+1)2)\frac{1}{x + 1} \left(- x + 1\right) \left(\frac{1}{- x + 1} + \frac{x + 1}{\left(- x + 1\right)^{2}}\right)
Вторая производная [src]
/    1 + x \ /    1       1   \
|1 - ------|*|- ----- - ------|
\    -1 + x/ \  1 + x   -1 + x/
-------------------------------
             1 + x             
1x+1(1x+1x1)(1x+11x1)\frac{1}{x + 1} \left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right) \left(- \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 1}\right)
Третья производная [src]
  /    1 + x \ /   1           1              1        \
2*|1 - ------|*|-------- + --------- + ----------------|
  \    -1 + x/ |       2           2   (1 + x)*(-1 + x)|
               \(1 + x)    (-1 + x)                    /
--------------------------------------------------------
                         1 + x                          
2x+1(1x+1x1)(1(x+1)2+1(x1)(x+1)+1(x1)2)\frac{2}{x + 1} \left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right) \left(\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)