Производная log((1+x)/x)

Вы ввели

   /1 + x\
log|-----|
   \  x  /

$$\log{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{1}{x} \left(x + 1\right)$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right)$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = x + 1$ и $g{\left (x \right )} = x$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $- \frac{1}{x^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{1}{x \left(x + 1\right)}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{x \left(x + 1\right)}$

Первая производная

  /1   1 + x\
x*|- - -----|
  |x      2 |
  \      x  /
-------------
    1 + x    

$$\frac{x}{x + 1} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} \left(x + 1\right)\right)$$

Вторая производная

/    1 + x\ /  1     1  \
|1 - -----|*|- - - -----|
\      x  / \  x   1 + x/
-------------------------
          1 + x          

$$\frac{1}{x + 1} \left(1 - \frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right) \left(- \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x}\right)$$

Третья производная

  /    1 + x\ /1       1           1    \
2*|1 - -----|*|-- + -------- + ---------|
  \      x  / | 2          2   x*(1 + x)|
              \x    (1 + x)             /
-----------------------------------------
                  1 + x                  

$$\frac{2}{x + 1} \left(1 - \frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right) \left(\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x \left(x + 1\right)} + \frac{1}{x^{2}}\right)$$