Производная log((5-x)/(6+x))

Вы ввели

   /5 - x\
log|-----|
   \6 + x/

$$\log{\left(\frac{5 - x}{x + 6} \right)}$$

d /   /5 - x\\
--|log|-----||
dx\   \6 + x//

$$\frac{d}{d x} \log{\left(\frac{5 - x}{x + 6} \right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{5 - x}{x + 6}$.

2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{5 - x}{x + 6}$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = 5 - x$ и $g{\left(x \right)} = x + 6$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. дифференцируем $5 - x$ почленно:

         1. Производная постоянной $5$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $-1$

         В результате: $-1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. дифференцируем $x + 6$ почленно:

         1. Производная постоянной $6$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $- \frac{11}{\left(x + 6\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{11}{\left(5 - x\right) \left(x + 6\right)}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{11}{\left(x - 5\right) \left(x + 6\right)}$

---

Ответ:

$\frac{11}{\left(x - 5\right) \left(x + 6\right)}$

Первая производная

        /    1      5 - x  \
(6 + x)*|- ----- - --------|
        |  6 + x          2|
        \          (6 + x) /
----------------------------
           5 - x            

$$\frac{\left(x + 6\right) \left(- \frac{5 - x}{\left(x + 6\right)^{2}} - \frac{1}{x + 6}\right)}{5 - x}$$

Вторая производная

/     -5 + x\ /  1        1  \
|-1 + ------|*|------ + -----|
\     6 + x / \-5 + x   6 + x/
------------------------------
            -5 + x            

$$\frac{\left(\frac{x - 5}{x + 6} - 1\right) \left(\frac{1}{x + 6} + \frac{1}{x - 5}\right)}{x - 5}$$

Третья производная

  /     -5 + x\ /      1          1              1        \
2*|-1 + ------|*|- --------- - -------- - ----------------|
  \     6 + x / |          2          2   (-5 + x)*(6 + x)|
                \  (-5 + x)    (6 + x)                    /
-----------------------------------------------------------
                           -5 + x                          

$$\frac{2 \left(\frac{x - 5}{x + 6} - 1\right) \left(- \frac{1}{\left(x + 6\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x - 5\right) \left(x + 6\right)} - \frac{1}{\left(x - 5\right)^{2}}\right)}{x - 5}$$

График