Производная log(sec(x)-tan(x))

Вы ввели

log(sec(x) - tan(x))

$$\log{\left (- \tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = - \tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- \tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )}\right)$:

   1. дифференцируем $- \tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )}$ почленно:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. Производная секанса есть секанс, умноженный на тангенс:

            $\frac{d}{d x} \sec{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}$

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

            Один из способов:

            1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

         Таким образом, в результате: $- \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$

      В результате: $- \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) + \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{1}{- \tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )}} \left(- \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) + \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}}\right)$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{\cos{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{\cos{\left (x \right )}}$

Первая производная

        2                   
-1 - tan (x) + sec(x)*tan(x)
----------------------------
      sec(x) - tan(x)       

$$\frac{- \tan^{2}{\left (x \right )} + \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} - 1}{- \tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

 /                             2                                                                 \ 
 |/       2                   \                                                                  | 
 |\1 + tan (x) - sec(x)*tan(x)/       2             /       2   \            /       2   \       | 
-|------------------------------ + tan (x)*sec(x) + \1 + tan (x)/*sec(x) - 2*\1 + tan (x)/*tan(x)| 
 \       -sec(x) + tan(x)                                                                        / 
---------------------------------------------------------------------------------------------------
                                          -sec(x) + tan(x)                                         

$$- \frac{1}{\tan{\left (x \right )} - \sec{\left (x \right )}} \left(- 2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} + \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sec{\left (x \right )} + \tan^{2}{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} + \frac{\left(\tan^{2}{\left (x \right )} - \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\tan{\left (x \right )} - \sec{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

                                                                   3                                                                                                                                                             
               2                      /       2                   \                                                                /       2                   \ /   2             /       2   \            /       2   \       \
  /       2   \       3             2*\1 + tan (x) - sec(x)*tan(x)/         2    /       2   \     /       2   \                 3*\1 + tan (x) - sec(x)*tan(x)/*\tan (x)*sec(x) + \1 + tan (x)/*sec(x) - 2*\1 + tan (x)/*tan(x)/
2*\1 + tan (x)/  - tan (x)*sec(x) + -------------------------------- + 4*tan (x)*\1 + tan (x)/ - 5*\1 + tan (x)/*sec(x)*tan(x) + ------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                            2                                                                                                            -sec(x) + tan(x)                                        
                                          (-sec(x) + tan(x))                                                                                                                                                                     
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                         -sec(x) + tan(x)                                                                                                        

$$\frac{1}{\tan{\left (x \right )} - \sec{\left (x \right )}} \left(2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + 4 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (x \right )} - 5 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} - \tan^{3}{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} + \frac{3}{\tan{\left (x \right )} - \sec{\left (x \right )}} \left(- 2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} + \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sec{\left (x \right )} + \tan^{2}{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}\right) \left(\tan^{2}{\left (x \right )} - \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} + 1\right) + \frac{2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} - \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} + 1\right)^{3}}{\left(\tan{\left (x \right )} - \sec{\left (x \right )}\right)^{2}}\right)$$