Производная log(sec(x)+tan(x))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
log(sec(x) + tan(x))
log(tan(x)+sec(x))\log{\left (\tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )} \right )}
Подробное решение
  1. Заменим u=tan(x)+sec(x)u = \tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )}.

  2. Производная log(u)\log{\left (u \right )} является 1u\frac{1}{u}.

  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx(tan(x)+sec(x))\frac{d}{d x}\left(\tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )}\right):

    1. дифференцируем tan(x)+sec(x)\tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )} почленно:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

        Один из способов:

        1. Производная секанса есть секанс, умноженный на тангенс:

          ddxsec(x)=tan(x)sec(x)\frac{d}{d x} \sec{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}

      2. Есть несколько способов вычислить эту производную.

        Один из способов:

        1. ddxtan(x)=1cos2(x)\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}

      В результате: 1cos2(x)(sin2(x)+cos2(x))+sin(x)cos2(x)\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) + \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}}

    В результате последовательности правил:

    1tan(x)+sec(x)(1cos2(x)(sin2(x)+cos2(x))+sin(x)cos2(x))\frac{1}{\tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )}} \left(\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) + \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}}\right)

  4. Теперь упростим:

    1cos(x)\frac{1}{\cos{\left (x \right )}}


Ответ:

1cos(x)\frac{1}{\cos{\left (x \right )}}

График
02468-8-6-4-2-1010-5050
Первая производная [src]
       2                   
1 + tan (x) + sec(x)*tan(x)
---------------------------
      sec(x) + tan(x)      
tan2(x)+tan(x)sec(x)+1tan(x)+sec(x)\frac{\tan^{2}{\left (x \right )} + \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} + 1}{\tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )}}
Вторая производная [src]
                                                                     2                         
                                        /       2                   \                          
   2             /       2   \          \1 + tan (x) + sec(x)*tan(x)/      /       2   \       
tan (x)*sec(x) + \1 + tan (x)/*sec(x) - ------------------------------ + 2*\1 + tan (x)/*tan(x)
                                               sec(x) + tan(x)                                 
-----------------------------------------------------------------------------------------------
                                        sec(x) + tan(x)                                        
1tan(x)+sec(x)(2(tan2(x)+1)tan(x)+(tan2(x)+1)sec(x)+tan2(x)sec(x)(tan2(x)+tan(x)sec(x)+1)2tan(x)+sec(x))\frac{1}{\tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )}} \left(2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} + \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sec{\left (x \right )} + \tan^{2}{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} - \frac{\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )}}\right)
Третья производная [src]
                                                                   3                                                                                                                                                             
               2                      /       2                   \                                /       2                   \ /   2             /       2   \            /       2   \       \                                
  /       2   \       3             2*\1 + tan (x) + sec(x)*tan(x)/         2    /       2   \   3*\1 + tan (x) + sec(x)*tan(x)/*\tan (x)*sec(x) + \1 + tan (x)/*sec(x) + 2*\1 + tan (x)/*tan(x)/     /       2   \              
2*\1 + tan (x)/  + tan (x)*sec(x) + -------------------------------- + 4*tan (x)*\1 + tan (x)/ - ------------------------------------------------------------------------------------------------ + 5*\1 + tan (x)/*sec(x)*tan(x)
                                                            2                                                                            sec(x) + tan(x)                                                                         
                                           (sec(x) + tan(x))                                                                                                                                                                     
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                         sec(x) + tan(x)                                                                                                         
1tan(x)+sec(x)(2(tan2(x)+1)2+4(tan2(x)+1)tan2(x)+5(tan2(x)+1)tan(x)sec(x)+tan3(x)sec(x)3tan(x)+sec(x)(2(tan2(x)+1)tan(x)+(tan2(x)+1)sec(x)+tan2(x)sec(x))(tan2(x)+tan(x)sec(x)+1)+2(tan2(x)+tan(x)sec(x)+1)3(tan(x)+sec(x))2)\frac{1}{\tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )}} \left(2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + 4 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (x \right )} + 5 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} + \tan^{3}{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} - \frac{3}{\tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )}} \left(2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} + \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sec{\left (x \right )} + \tan^{2}{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}\right) \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} + 1\right) + \frac{2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} + 1\right)^{3}}{\left(\tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )}\right)^{2}}\right)