Производная log(sin(2*x+5))

Вы ввели

log(sin(2*x + 5))

$$\log{\left (\sin{\left (2 x + 5 \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left (2 x + 5 \right )}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (2 x + 5 \right )}$:

   1. Заменим $u = 2 x + 5$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(2 x + 5\right)$:

      1. дифференцируем $2 x + 5$ почленно:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $2$

         2. Производная постоянной $5$ равна нулю.

         В результате: $2$

      В результате последовательности правил:

      $2 \cos{\left (2 x + 5 \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{2 \cos{\left (2 x + 5 \right )}}{\sin{\left (2 x + 5 \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{2}{\tan{\left (2 x + 5 \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{2}{\tan{\left (2 x + 5 \right )}}$

Первая производная

2*cos(2*x + 5)
--------------
 sin(2*x + 5) 

$$\frac{2 \cos{\left (2 x + 5 \right )}}{\sin{\left (2 x + 5 \right )}}$$

Вторая производная

   /       2         \
   |    cos (5 + 2*x)|
-4*|1 + -------------|
   |       2         |
   \    sin (5 + 2*x)/

$$- 4 \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left (2 x + 5 \right )}}{\sin^{2}{\left (2 x + 5 \right )}}\right)$$

Третья производная

   /       2         \             
   |    cos (5 + 2*x)|             
16*|1 + -------------|*cos(5 + 2*x)
   |       2         |             
   \    sin (5 + 2*x)/             
-----------------------------------
            sin(5 + 2*x)           

$$\frac{16 \cos{\left (2 x + 5 \right )}}{\sin{\left (2 x + 5 \right )}} \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left (2 x + 5 \right )}}{\sin^{2}{\left (2 x + 5 \right )}}\right)$$