Производная log(sin(x)-cos(x))

Вы ввели

log(sin(x) - cos(x))

$$\log{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} \right)}$$

d                       
--(log(sin(x) - cos(x)))
dx                      

$$\frac{d}{d x} \log{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} \right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$.

2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)$:

   1. дифференцируем $\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$ почленно:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         Таким образом, в результате: $\sin{\left(x \right)}$

      В результате: $\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}$

4. Теперь упростим:

   $- \tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$

---

Ответ:

$- \tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$

Первая производная

cos(x) + sin(x)
---------------
sin(x) - cos(x)

$$\frac{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}$$

Вторая производная

 /                      2\
 |     (cos(x) + sin(x)) |
-|1 + -------------------|
 |                      2|
 \    (-cos(x) + sin(x)) /

$$- (1 + \frac{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}})$$

Третья производная

  /                      2\                  
  |     (cos(x) + sin(x)) |                  
2*|1 + -------------------|*(cos(x) + sin(x))
  |                      2|                  
  \    (-cos(x) + sin(x)) /                  
---------------------------------------------
               -cos(x) + sin(x)              

$$\frac{2 \cdot \left(1 + \frac{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}\right) \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)}{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}$$

График