Производная log(sin(x)+cos(x))

Вы ввели

log(sin(x) + cos(x))

$$\log{\left (\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)$:

   1. дифференцируем $\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}$ почленно:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      В результате: $- \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{- \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\tan{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{\tan{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}}$

Первая производная

-sin(x) + cos(x)
----------------
sin(x) + cos(x) 

$$\frac{- \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

 /                      2\
 |    (-cos(x) + sin(x)) |
-|1 + -------------------|
 |                      2|
 \     (cos(x) + sin(x)) /

$$- \frac{\left(\sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right)^{2}}{\left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)^{2}} + 1$$

Третья производная

   /                      2\                   
   |    (-cos(x) + sin(x)) |                   
-2*|1 + -------------------|*(-cos(x) + sin(x))
   |                      2|                   
   \     (cos(x) + sin(x)) /                   
-----------------------------------------------
                cos(x) + sin(x)                

$$- \frac{2}{\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}} \left(\frac{\left(\sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right)^{2}}{\left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)^{2}} + 1\right) \left(\sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right)$$