Производная функции/ От одной переменной/ y' = (log(sin(x^2-1)))'

Производная log(sin(x^2-1))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

Примеры

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
   /   / 2    \\
log\sin\x  - 1//
log⁡(sin⁡(x2−1))\log{\left (\sin{\left (x^{2} - 1 \right )} \right )}
Подробное решение

  1. Заменим u=sin⁡(x2−1)u = \sin{\left (x^{2} - 1 \right )}.

  2. Производная log⁡(u)\log{\left (u \right )} является 1u\frac{1}{u}.

  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxsin⁡(x2−1)\frac{d}{d x} \sin{\left (x^{2} - 1 \right )}:

    1. Заменим u=x2−1u = x^{2} - 1.

    2. Производная синуса есть косинус:

      ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx(x2−1)\frac{d}{d x}\left(x^{2} - 1\right):

      1. дифференцируем x2−1x^{2} - 1 почленно:

        1. В силу правила, применим: x2x^{2} получим 2x2 x

        2. Производная постоянной −1-1 равна нулю.

        В результате: 2x2 x

      В результате последовательности правил:

      2xcos⁡(x2−1)2 x \cos{\left (x^{2} - 1 \right )}

    В результате последовательности правил:

    2xcos⁡(x2−1)sin⁡(x2−1)\frac{2 x \cos{\left (x^{2} - 1 \right )}}{\sin{\left (x^{2} - 1 \right )}}

  4. Теперь упростим:

    2xtan⁡(x2−1)\frac{2 x}{\tan{\left (x^{2} - 1 \right )}}

Ответ:

2xtan⁡(x2−1)\frac{2 x}{\tan{\left (x^{2} - 1 \right )}}

График
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Первая производная [src]
       / 2    \
2*x*cos\x  - 1/
---------------
     / 2    \  
  sin\x  - 1/
2xcos⁡(x2−1)sin⁡(x2−1)\frac{2 x \cos{\left (x^{2} - 1 \right )}}{\sin{\left (x^{2} - 1 \right )}}
Упростить
Вторая производная [src]
  /            /      2\      2    2/      2\\
  |     2   cos\-1 + x /   2*x *cos \-1 + x /|
2*|- 2*x  + ------------ - ------------------|
  |            /      2\        2/      2\   |
  \         sin\-1 + x /     sin \-1 + x /   /
2(−2x2−2x2cos⁡2(x2−1)sin⁡2(x2−1)+cos⁡(x2−1)sin⁡(x2−1))2 \left(- 2 x^{2} - \frac{2 x^{2} \cos^{2}{\left (x^{2} - 1 \right )}}{\sin^{2}{\left (x^{2} - 1 \right )}} + \frac{\cos{\left (x^{2} - 1 \right )}}{\sin{\left (x^{2} - 1 \right )}}\right)
Упростить
Третья производная [src]
    /          2/      2\      2    3/      2\      2    /      2\\
    |     3*cos \-1 + x /   4*x *cos \-1 + x /   4*x *cos\-1 + x /|
4*x*|-3 - --------------- + ------------------ + -----------------|
    |         2/      2\         3/      2\            /      2\  |
    \      sin \-1 + x /      sin \-1 + x /         sin\-1 + x /  /
4x(4x2cos⁡(x2−1)sin⁡(x2−1)+4x2cos⁡3(x2−1)sin⁡3(x2−1)−3−3cos⁡2(x2−1)sin⁡2(x2−1))4 x \left(\frac{4 x^{2} \cos{\left (x^{2} - 1 \right )}}{\sin{\left (x^{2} - 1 \right )}} + \frac{4 x^{2} \cos^{3}{\left (x^{2} - 1 \right )}}{\sin^{3}{\left (x^{2} - 1 \right )}} - 3 - \frac{3 \cos^{2}{\left (x^{2} - 1 \right )}}{\sin^{2}{\left (x^{2} - 1 \right )}}\right)
Упростить