Производная функции/ От одной переменной/ y' = (log(sin(x^2+1)))'

Производная log(sin(x^2+1))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

Примеры

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
   /   / 2    \\
log\sin\x  + 1//
log⁡(sin⁡(x2+1))\log{\left (\sin{\left (x^{2} + 1 \right )} \right )}
Подробное решение

  1. Заменим u=sin⁡(x2+1)u = \sin{\left (x^{2} + 1 \right )}.

  2. Производная log⁡(u)\log{\left (u \right )} является 1u\frac{1}{u}.

  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxsin⁡(x2+1)\frac{d}{d x} \sin{\left (x^{2} + 1 \right )}:

    1. Заменим u=x2+1u = x^{2} + 1.

    2. Производная синуса есть косинус:

      ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx(x2+1)\frac{d}{d x}\left(x^{2} + 1\right):

      1. дифференцируем x2+1x^{2} + 1 почленно:

        1. В силу правила, применим: x2x^{2} получим 2x2 x

        2. Производная постоянной 11 равна нулю.

        В результате: 2x2 x

      В результате последовательности правил:

      2xcos⁡(x2+1)2 x \cos{\left (x^{2} + 1 \right )}

    В результате последовательности правил:

    2xcos⁡(x2+1)sin⁡(x2+1)\frac{2 x \cos{\left (x^{2} + 1 \right )}}{\sin{\left (x^{2} + 1 \right )}}

  4. Теперь упростим:

    2xtan⁡(x2+1)\frac{2 x}{\tan{\left (x^{2} + 1 \right )}}

Ответ:

2xtan⁡(x2+1)\frac{2 x}{\tan{\left (x^{2} + 1 \right )}}

График
02468-8-6-4-2-1010-250250
Первая производная [src]
       / 2    \
2*x*cos\x  + 1/
---------------
     / 2    \  
  sin\x  + 1/
2xcos⁡(x2+1)sin⁡(x2+1)\frac{2 x \cos{\left (x^{2} + 1 \right )}}{\sin{\left (x^{2} + 1 \right )}}
Упростить
Вторая производная [src]
  /            /     2\      2    2/     2\\
  |     2   cos\1 + x /   2*x *cos \1 + x /|
2*|- 2*x  + ----------- - -----------------|
  |            /     2\         2/     2\  |
  \         sin\1 + x /      sin \1 + x /  /
2(−2x2−2x2cos⁡2(x2+1)sin⁡2(x2+1)+cos⁡(x2+1)sin⁡(x2+1))2 \left(- 2 x^{2} - \frac{2 x^{2} \cos^{2}{\left (x^{2} + 1 \right )}}{\sin^{2}{\left (x^{2} + 1 \right )}} + \frac{\cos{\left (x^{2} + 1 \right )}}{\sin{\left (x^{2} + 1 \right )}}\right)
Упростить
Третья производная [src]
    /          2/     2\      2    3/     2\      2    /     2\\
    |     3*cos \1 + x /   4*x *cos \1 + x /   4*x *cos\1 + x /|
4*x*|-3 - -------------- + ----------------- + ----------------|
    |         2/     2\          3/     2\          /     2\   |
    \      sin \1 + x /       sin \1 + x /       sin\1 + x /   /
4x(4x2cos⁡(x2+1)sin⁡(x2+1)+4x2cos⁡3(x2+1)sin⁡3(x2+1)−3−3cos⁡2(x2+1)sin⁡2(x2+1))4 x \left(\frac{4 x^{2} \cos{\left (x^{2} + 1 \right )}}{\sin{\left (x^{2} + 1 \right )}} + \frac{4 x^{2} \cos^{3}{\left (x^{2} + 1 \right )}}{\sin^{3}{\left (x^{2} + 1 \right )}} - 3 - \frac{3 \cos^{2}{\left (x^{2} + 1 \right )}}{\sin^{2}{\left (x^{2} + 1 \right )}}\right)
Упростить