Производная log(sin((x^2)+1))

Вы ввели

   /   / 2    \\
log\sin\x  + 1//

$$\log{\left (\sin{\left (x^{2} + 1 \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left (x^{2} + 1 \right )}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x^{2} + 1 \right )}$:

   1. Заменим $u = x^{2} + 1$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x^{2} + 1\right)$:

      1. дифференцируем $x^{2} + 1$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         В результате: $2 x$

      В результате последовательности правил:

      $2 x \cos{\left (x^{2} + 1 \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{2 x \cos{\left (x^{2} + 1 \right )}}{\sin{\left (x^{2} + 1 \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{2 x}{\tan{\left (x^{2} + 1 \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{2 x}{\tan{\left (x^{2} + 1 \right )}}$

Первая производная

       / 2    \
2*x*cos\x  + 1/
---------------
     / 2    \  
  sin\x  + 1/  

$$\frac{2 x \cos{\left (x^{2} + 1 \right )}}{\sin{\left (x^{2} + 1 \right )}}$$

Вторая производная

  /            /     2\      2    2/     2\\
  |     2   cos\1 + x /   2*x *cos \1 + x /|
2*|- 2*x  + ----------- - -----------------|
  |            /     2\         2/     2\  |
  \         sin\1 + x /      sin \1 + x /  /

$$2 \left(- 2 x^{2} - \frac{2 x^{2} \cos^{2}{\left (x^{2} + 1 \right )}}{\sin^{2}{\left (x^{2} + 1 \right )}} + \frac{\cos{\left (x^{2} + 1 \right )}}{\sin{\left (x^{2} + 1 \right )}}\right)$$

Третья производная

    /          2/     2\      2    3/     2\      2    /     2\\
    |     3*cos \1 + x /   4*x *cos \1 + x /   4*x *cos\1 + x /|
4*x*|-3 - -------------- + ----------------- + ----------------|
    |         2/     2\          3/     2\          /     2\   |
    \      sin \1 + x /       sin \1 + x /       sin\1 + x /   /

$$4 x \left(\frac{4 x^{2} \cos{\left (x^{2} + 1 \right )}}{\sin{\left (x^{2} + 1 \right )}} + \frac{4 x^{2} \cos^{3}{\left (x^{2} + 1 \right )}}{\sin^{3}{\left (x^{2} + 1 \right )}} - 3 - \frac{3 \cos^{2}{\left (x^{2} + 1 \right )}}{\sin^{2}{\left (x^{2} + 1 \right )}}\right)$$