Производная log(tan(x/2))

Вы ввели

   /   /x\\
log|tan|-||
   \   \2//

$$\log{\left (\tan{\left (\frac{x}{2} \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = \frac{x}{2}$.

      2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{2}\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{1}{2 \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\frac{1}{2} \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{1}{2} \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}}$

Первая производная

       2/x\
    tan |-|
1       \2/
- + -------
2      2   
-----------
      /x\  
   tan|-|  
      \2/  

$$\frac{\frac{1}{2} \tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{1}{2}}{\tan{\left (\frac{x}{2} \right )}}$$

Вторая производная

                             2
                /       2/x\\ 
                |1 + tan |-|| 
         2/x\   \        \2// 
2 + 2*tan |-| - --------------
          \2/         2/x\    
                   tan |-|    
                       \2/    
------------------------------
              4               

$$\frac{1}{4} \left(- \frac{\left(\tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right)^{2}}{\tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}} + 2 \tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 2\right)$$

Третья производная

              /                        2                  \
              |           /       2/x\\      /       2/x\\|
              |           |1 + tan |-||    2*|1 + tan |-|||
/       2/x\\ |     /x\   \        \2//      \        \2//|
|1 + tan |-||*|2*tan|-| + -------------- - ---------------|
\        \2// |     \2/         3/x\               /x\    |
              |              tan |-|            tan|-|    |
              \                  \2/               \2/    /
-----------------------------------------------------------
                             4                             

$$\frac{1}{4} \left(\tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right) \left(\frac{\left(\tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right)^{2}}{\tan^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )}} - \frac{2 \tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 2}{\tan{\left (\frac{x}{2} \right )}} + 2 \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}\right)$$