Производная (log(tan(x))/log(5))

Вы ввели

log(tan(x))
-----------
   log(5)  

$$\frac{\log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}}{\log{\left (5 \right )}}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Заменим $u = \tan{\left (x \right )}$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )}$:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )}}$

   Таким образом, в результате: $\frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\log{\left (5 \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{2}{\log{\left (5 \right )} \sin{\left (2 x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{2}{\log{\left (5 \right )} \sin{\left (2 x \right )}}$

Первая производная

        2    
 1 + tan (x) 
-------------
log(5)*tan(x)

$$\frac{\tan^{2}{\left (x \right )} + 1}{\log{\left (5 \right )} \tan{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

              /           2   \
/       2   \ |    1 + tan (x)|
\1 + tan (x)/*|2 - -----------|
              |         2     |
              \      tan (x)  /
-------------------------------
             log(5)            

$$\frac{1}{\log{\left (5 \right )}} \left(- \frac{\tan^{2}{\left (x \right )} + 1}{\tan^{2}{\left (x \right )}} + 2\right) \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)$$

Третья производная

                /                        2                  \
                |           /       2   \      /       2   \|
  /       2   \ |           \1 + tan (x)/    2*\1 + tan (x)/|
2*\1 + tan (x)/*|2*tan(x) + -------------- - ---------------|
                |                 3               tan(x)    |
                \              tan (x)                      /
-------------------------------------------------------------
                            log(5)                           

$$\frac{2}{\log{\left (5 \right )}} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(\frac{\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\tan^{3}{\left (x \right )}} - \frac{2 \tan^{2}{\left (x \right )} + 2}{\tan{\left (x \right )}} + 2 \tan{\left (x \right )}\right)$$