Производная log(tan(x))-log(sec(x))

Вы ввели

log(tan(x)) - log(sec(x))

$$\log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} - \log{\left (\sec{\left (x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. дифференцируем $\log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} - \log{\left (\sec{\left (x \right )} \right )}$ почленно:

   1. Заменим $u = \tan{\left (x \right )}$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )}$:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )}}$

   4. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = \sec{\left (x \right )}$.

      2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sec{\left (x \right )}$:

         1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

            Один из способов:

            1. Производная секанса есть секанс, умноженный на тангенс:

               $\frac{d}{d x} \sec{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}}$

   В результате: $\frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )}} - \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\tan{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{\tan{\left (x \right )}}$

Первая производная

                 2   
          1 + tan (x)
-tan(x) + -----------
             tan(x)  

$$\frac{\tan^{2}{\left (x \right )} + 1}{\tan{\left (x \right )}} - \tan{\left (x \right )}$$

Вторая производная

                           2
              /       2   \ 
       2      \1 + tan (x)/ 
1 + tan (x) - --------------
                    2       
                 tan (x)    

$$- \frac{\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\tan^{2}{\left (x \right )}} + \tan^{2}{\left (x \right )} + 1$$

Третья производная

                /             2                           \
                |/       2   \      /       2   \         |
  /       2   \ |\1 + tan (x)/    2*\1 + tan (x)/         |
2*\1 + tan (x)/*|-------------- - --------------- + tan(x)|
                |      3               tan(x)             |
                \   tan (x)                               /

$$2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(\frac{\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\tan^{3}{\left (x \right )}} - \frac{2 \tan^{2}{\left (x \right )} + 2}{\tan{\left (x \right )}} + \tan{\left (x \right )}\right)$$