Производная log(u/v)

Вы ввели

   /u\
log|-|
   \v/

$$\log{\left (\frac{u}{v} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{u}{v}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u}{v}\right)$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. В силу правила, применим: $\frac{1}{v}$ получим $- \frac{1}{v^{2}}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{u}{v^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{1}{v}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{v}$

Первая производная

-1 
---
 v 

$$- \frac{1}{v}$$

Вторая производная

1 
--
 2
v 

$$\frac{1}{v^{2}}$$

Третья производная

-2 
---
  3
 v 

$$- \frac{2}{v^{3}}$$