Производная log(x)/e^x

Вы ввели

log(x)
------
   x  
  E   

$$\frac{1}{e^{x}} \log{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = e^{x}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная $e^{x}$ само оно.

   Теперь применим правило производной деления:

   $\left(- e^{x} \log{\left (x \right )} + \frac{e^{x}}{x}\right) e^{- 2 x}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{e^{- x}}{x} \left(- x \log{\left (x \right )} + 1\right)$

---

Ответ:

$\frac{e^{- x}}{x} \left(- x \log{\left (x \right )} + 1\right)$

Первая производная

 -x             
e      -x       
--- - e  *log(x)
 x              

$$- e^{- x} \log{\left (x \right )} + \frac{e^{- x}}{x}$$

Вторая производная

/  1    2         \  -x
|- -- - - + log(x)|*e  
|   2   x         |    
\  x              /    

$$\left(\log{\left (x \right )} - \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}\right) e^{- x}$$

Третья производная

/          2    3   3 \  -x
|-log(x) + -- + - + --|*e  
|           3   x    2|    
\          x        x /    

$$\left(- \log{\left (x \right )} + \frac{3}{x} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}\right) e^{- x}$$