Производная log(x/(x+2))+1

Вы ввели

   /  x  \    
log|-----| + 1
   \x + 2/    

$$\log{\left (\frac{x}{x + 2} \right )} + 1$$

Подробное решение

1. дифференцируем $\log{\left (\frac{x}{x + 2} \right )} + 1$ почленно:

   1. Заменим $u = \frac{x}{x + 2}$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{x + 2}\right)$:

      1. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

         $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = x + 2$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

         1. дифференцируем $x + 2$ почленно:

            1. Производная постоянной $2$ равна нулю.

            2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            В результате: $1$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{2}{\left(x + 2\right)^{2}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{2 x + 4}{x \left(x + 2\right)^{2}}$

   4. Производная постоянной $1$ равна нулю.

   В результате: $\frac{2 x + 4}{x \left(x + 2\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{2}{x \left(x + 2\right)}$

---

Ответ:

$\frac{2}{x \left(x + 2\right)}$

Первая производная

        /  1        x    \
(x + 2)*|----- - --------|
        |x + 2          2|
        \        (x + 2) /
--------------------------
            x             

$$\frac{1}{x} \left(x + 2\right) \left(- \frac{x}{\left(x + 2\right)^{2}} + \frac{1}{x + 2}\right)$$

Вторая производная

/       x  \ /1     1  \
|-1 + -----|*|- + -----|
\     2 + x/ \x   2 + x/
------------------------
           x            

$$\frac{1}{x} \left(\frac{x}{x + 2} - 1\right) \left(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x}\right)$$

Третья производная

  /       x  \ /  1       1           1    \
2*|-1 + -----|*|- -- - -------- - ---------|
  \     2 + x/ |   2          2   x*(2 + x)|
               \  x    (2 + x)             /
--------------------------------------------
                     x                      

$$\frac{2}{x} \left(\frac{x}{x + 2} - 1\right) \left(- \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{1}{x \left(x + 2\right)} - \frac{1}{x^{2}}\right)$$