Производная log(x/(x+1))

Вы ввели

   /  x  \
log|-----|
   \x + 1/

$$\log{\left (\frac{x}{x + 1} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{x}{x + 1}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{x + 1}\right)$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = x + 1$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{x + 1}{x \left(x + 1\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x \left(x + 1\right)}$

---

Ответ:

$\frac{1}{x \left(x + 1\right)}$

Первая производная

        /  1        x    \
(x + 1)*|----- - --------|
        |x + 1          2|
        \        (x + 1) /
--------------------------
            x             

$$\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \left(- \frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x + 1}\right)$$

Вторая производная

/       x  \ /1     1  \
|-1 + -----|*|- + -----|
\     1 + x/ \x   1 + x/
------------------------
           x            

$$\frac{1}{x} \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x}\right)$$

Третья производная

  /       x  \ /  1       1           1    \
2*|-1 + -----|*|- -- - -------- - ---------|
  \     1 + x/ |   2          2   x*(1 + x)|
               \  x    (1 + x)             /
--------------------------------------------
                     x                      

$$\frac{2}{x} \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) \left(- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x \left(x + 1\right)} - \frac{1}{x^{2}}\right)$$