Производная log(x-cos(x))

Вы ввели

log(x - cos(x))

$$\log{\left (x - \cos{\left (x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = x - \cos{\left (x \right )}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x - \cos{\left (x \right )}\right)$:

   1. дифференцируем $x - \cos{\left (x \right )}$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

         Таким образом, в результате: $\sin{\left (x \right )}$

      В результате: $\sin{\left (x \right )} + 1$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\sin{\left (x \right )} + 1}{x - \cos{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{\sin{\left (x \right )} + 1}{x - \cos{\left (x \right )}}$

Первая производная

1 + sin(x)
----------
x - cos(x)

$$\frac{\sin{\left (x \right )} + 1}{x - \cos{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

              2         
  (1 + sin(x))          
- ------------- + cos(x)
    x - cos(x)          
------------------------
       x - cos(x)       

$$\frac{1}{x - \cos{\left (x \right )}} \left(\cos{\left (x \right )} - \frac{\left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{x - \cos{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

                        3                        
          2*(1 + sin(x))    3*(1 + sin(x))*cos(x)
-sin(x) + --------------- - ---------------------
                       2          x - cos(x)     
           (x - cos(x))                          
-------------------------------------------------
                    x - cos(x)                   

$$\frac{1}{x - \cos{\left (x \right )}} \left(- \sin{\left (x \right )} - \frac{3 \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right) \cos{\left (x \right )}}{x - \cos{\left (x \right )}} + \frac{2 \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)^{3}}{\left(x - \cos{\left (x \right )}\right)^{2}}\right)$$

График