Производная log(x)-log(x-1)

Вы ввели

log(x) - log(x - 1)

$$\log{\left (x \right )} - \log{\left (x - 1 \right )}$$

Подробное решение

1. дифференцируем $\log{\left (x \right )} - \log{\left (x - 1 \right )}$ почленно:

   1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = x - 1$.

      2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x - 1\right)$:

         1. дифференцируем $x - 1$ почленно:

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            2. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

            В результате: $1$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{1}{x - 1}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{1}{x - 1}$

   В результате: $- \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{x \left(x - 1\right)}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{x \left(x - 1\right)}$

Первая производная

1     1  
- - -----
x   x - 1

$$- \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x}$$

Вторая производная

    1       1 
--------- - --
        2    2
(-1 + x)    x 

$$\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$$

Третья производная

  /1        1    \
2*|-- - ---------|
  | 3           3|
  \x    (-1 + x) /

$$2 \left(- \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{1}{x^{3}}\right)$$