Производная log(x-1)/(x-1)

Вы ввели

log(x - 1)
----------
  x - 1   

$$\frac{\log{\left (x - 1 \right )}}{x - 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \log{\left (x - 1 \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x - 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = x - 1$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x - 1\right)$:

      1. дифференцируем $x - 1$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         2. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

         В результате: $1$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{x - 1}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x - 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      В результате: $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(- \log{\left (x - 1 \right )} + \frac{x - 1}{x - 1}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(- \log{\left (x - 1 \right )} + 1\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(- \log{\left (x - 1 \right )} + 1\right)$

Первая производная

   1       log(x - 1)
-------- - ----------
       2           2 
(x - 1)     (x - 1)  

$$- \frac{\log{\left (x - 1 \right )}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

-3 + 2*log(-1 + x)
------------------
            3     
    (-1 + x)      

$$\frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} \left(2 \log{\left (x - 1 \right )} - 3\right)$$

Третья производная

11 - 6*log(-1 + x)
------------------
            4     
    (-1 + x)      

$$\frac{1}{\left(x - 1\right)^{4}} \left(- 6 \log{\left (x - 1 \right )} + 11\right)$$