Производная log((x+2)/(x-2))

Вы ввели

   /x + 2\
log|-----|
   \x - 2/

$$\log{\left (\frac{x + 2}{x - 2} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{x + 2}{x - 2}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = x + 2$ и $g{\left (x \right )} = x - 2$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $x + 2$ почленно:

         1. Производная постоянной $2$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $x - 2$ почленно:

         1. Производная постоянной $-2$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $- \frac{4}{\left(x - 2\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{4 x - 8}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x + 2\right)}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{4}{x^{2} - 4}$

---

Ответ:

$- \frac{4}{x^{2} - 4}$

Первая производная

        /  1      x + 2  \
(x - 2)*|----- - --------|
        |x - 2          2|
        \        (x - 2) /
--------------------------
          x + 2           

$$\frac{1}{x + 2} \left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 2} - \frac{x + 2}{\left(x - 2\right)^{2}}\right)$$

Вторая производная

/    2 + x \ /    1        1  \
|1 - ------|*|- ------ - -----|
\    -2 + x/ \  -2 + x   2 + x/
-------------------------------
             2 + x             

$$\frac{1}{x + 2} \left(1 - \frac{x + 2}{x - 2}\right) \left(- \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x - 2}\right)$$

Третья производная

  /    2 + x \ /    1          1              1        \
2*|1 - ------|*|--------- + -------- + ----------------|
  \    -2 + x/ |        2          2   (-2 + x)*(2 + x)|
               \(-2 + x)    (2 + x)                    /
--------------------------------------------------------
                         2 + x                          

$$\frac{2}{x + 2} \left(1 - \frac{x + 2}{x - 2}\right) \left(\frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x + 2\right)} + \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}\right)$$