Производная log(x+cos(x))

Вы ввели

log(x + cos(x))

$$\log{\left (x + \cos{\left (x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = x + \cos{\left (x \right )}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x + \cos{\left (x \right )}\right)$:

   1. дифференцируем $x + \cos{\left (x \right )}$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      В результате: $- \sin{\left (x \right )} + 1$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{- \sin{\left (x \right )} + 1}{x + \cos{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{- \sin{\left (x \right )} + 1}{x + \cos{\left (x \right )}}$

Первая производная

1 - sin(x)
----------
x + cos(x)

$$\frac{- \sin{\left (x \right )} + 1}{x + \cos{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

 /             2         \ 
 |(-1 + sin(x))          | 
-|-------------- + cos(x)| 
 \  x + cos(x)           / 
---------------------------
         x + cos(x)        

$$- \frac{1}{x + \cos{\left (x \right )}} \left(\cos{\left (x \right )} + \frac{\left(\sin{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}{x + \cos{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

                 3                                  
  2*(-1 + sin(x))    3*(-1 + sin(x))*cos(x)         
- ---------------- - ---------------------- + sin(x)
               2           x + cos(x)               
   (x + cos(x))                                     
----------------------------------------------------
                     x + cos(x)                     

$$\frac{1}{x + \cos{\left (x \right )}} \left(\sin{\left (x \right )} - \frac{3 \left(\sin{\left (x \right )} - 1\right) \cos{\left (x \right )}}{x + \cos{\left (x \right )}} - \frac{2 \left(\sin{\left (x \right )} - 1\right)^{3}}{\left(x + \cos{\left (x \right )}\right)^{2}}\right)$$