Производная log(x+cos(x))^2

Вы ввели

   2            
log (x + cos(x))

$$\log^{2}{\left (x + \cos{\left (x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \log{\left (x + \cos{\left (x \right )} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (x + \cos{\left (x \right )} \right )}$:

   1. Заменим $u = x + \cos{\left (x \right )}$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x + \cos{\left (x \right )}\right)$:

      1. дифференцируем $x + \cos{\left (x \right )}$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         2. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

         В результате: $- \sin{\left (x \right )} + 1$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{- \sin{\left (x \right )} + 1}{x + \cos{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{2 \log{\left (x + \cos{\left (x \right )} \right )}}{x + \cos{\left (x \right )}} \left(- \sin{\left (x \right )} + 1\right)$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{2 \log{\left (x + \cos{\left (x \right )} \right )}}{x + \cos{\left (x \right )}} \left(\sin{\left (x \right )} - 1\right)$

---

Ответ:

$- \frac{2 \log{\left (x + \cos{\left (x \right )} \right )}}{x + \cos{\left (x \right )}} \left(\sin{\left (x \right )} - 1\right)$

Первая производная

2*(1 - sin(x))*log(x + cos(x))
------------------------------
          x + cos(x)          

$$\frac{2 \log{\left (x + \cos{\left (x \right )} \right )}}{x + \cos{\left (x \right )}} \left(- \sin{\left (x \right )} + 1\right)$$

Вторая производная

  /             2                                         2                \
  |(-1 + sin(x))                             (-1 + sin(x)) *log(x + cos(x))|
2*|-------------- - cos(x)*log(x + cos(x)) - ------------------------------|
  \  x + cos(x)                                        x + cos(x)          /
----------------------------------------------------------------------------
                                 x + cos(x)                                 

$$\frac{1}{x + \cos{\left (x \right )}} \left(- 2 \log{\left (x + \cos{\left (x \right )} \right )} \cos{\left (x \right )} - \frac{2 \left(\sin{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}{x + \cos{\left (x \right )}} \log{\left (x + \cos{\left (x \right )} \right )} + \frac{2 \left(\sin{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}{x + \cos{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

  /                                        3                  3                                                                                  \
  |                         3*(-1 + sin(x))    2*(-1 + sin(x)) *log(x + cos(x))   3*(-1 + sin(x))*cos(x)   3*(-1 + sin(x))*cos(x)*log(x + cos(x))|
2*|log(x + cos(x))*sin(x) + ---------------- - -------------------------------- + ---------------------- - --------------------------------------|
  |                                      2                          2                   x + cos(x)                       x + cos(x)              |
  \                          (x + cos(x))               (x + cos(x))                                                                             /
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                    x + cos(x)                                                                    

$$\frac{1}{x + \cos{\left (x \right )}} \left(2 \log{\left (x + \cos{\left (x \right )} \right )} \sin{\left (x \right )} - \frac{6 \cos{\left (x \right )}}{x + \cos{\left (x \right )}} \left(\sin{\left (x \right )} - 1\right) \log{\left (x + \cos{\left (x \right )} \right )} + \frac{6 \left(\sin{\left (x \right )} - 1\right) \cos{\left (x \right )}}{x + \cos{\left (x \right )}} - \frac{4 \left(\sin{\left (x \right )} - 1\right)^{3}}{\left(x + \cos{\left (x \right )}\right)^{2}} \log{\left (x + \cos{\left (x \right )} \right )} + \frac{6 \left(\sin{\left (x \right )} - 1\right)^{3}}{\left(x + \cos{\left (x \right )}\right)^{2}}\right)$$